Anotaciones de combinatoria #1

Sobre el uso del lenguaje en los problemas de Combinatoria:

Cuando aprendía combinatoria, una de las cosas que más se me dificultaba a la hora de resolver un problema era cómo interpretar en qué casos sí importaba el orden y en qué casos no. Esto se convertía en un verdadero problema porque los enunciados no eran explícitos sobre lo que querían que uno contara, lo que me llevaba a sobre analizar qué se estaba pidiendo. 

Ahora entiendo que muchos de estos problemas están formulados de una manera ambigüa y que no se discute sobre esto en clase: cuestión que es de importancia superlativa para pensar matemáticamente tales problemas.

Propongo un ejemplo:

"Sean n y k enteros positivos. ¿De cuántas formas se pueden repartir n regalos iguales entre k niños, si los niños pueden recibir varios regalos o ninguno?"

Este problema lo encontré en el libro "Un recorrido por la Combinatoria I" de Pascual Restrepo, ed. Olimpiadas Colombianas de Matemáticas - Universidad Antonio Nariño. p.7.

La solución que se propone es la siguiente: "...si queremos utilizar el principio de multiplicación, debemos pensar en cómo construir uno de los eventos pedidos como producto de una elección de objetos independientes. Para responder a esta pregunta debemos ver cuáles eventos son los que determinan la repartición de los regalos... Cada repartición la podemos construir decidiendo a qué niño se destina cada regalo. Tenemos que para cada regalo hay k posibles receptores. Por lo tanto, como hay n regalos, por el principio de multiplicación habrá kˆn maneras de repartirlos".

Sin embargo, yo pensé el problema de otra manera y conseguí una respuesta distinta. La apreciación principal que le hago a la solución del libro es la siguiente: Si diferencio las formas en que se reparten los regalos a los niños según el orden en el que se los voy dando, entonces podemos llegar a hacer varias reparticiones iguales cuyo proceso para llegar a estas es distinto.

Por ejemplo, suponga que tenemos n = 3 regalos y k = 2 niños. De acuerdo con la idea de Pascual, las siguientes reparticiones son diferentes:

* primer regalo al niño 1, segundo regalo al niño 2, tercer regalo al niño 1.

*primer y segundo regalo al niño 1, tercer regalo al niño 2.

*primer regalo al niño 2, segundo y terceros al niño 1.

Estos son órdenes diferentes de seleccionar los niños, pero que, desde otro punto de vista conducen la "misma repartición final". Es decir, que si se interpreta la expresión "formas de repartir", como proceso y como produco, el problema es distinto.

En mi caso, al interpretar que una repartición sería diferente a otra si al final los niños quedan con una distribución de regalos distinta, los tres órdenes mencionados anteriormente solo debían contarse como 1.

Así, mi solución me condujo a considerar un modelo de puntos y barras. Suponga que tenemos n puntos dispuestos en una fila (que representan los regalos disponibles). Vamos a utilizar barras "|" para crear separaciones entre estos puntos y así agruparlos. Por ejemplo:

Para el caso en el que tenemos n = 3 regalos y k = 2 niños, tenemos que

 * | * *

representa el caso en que el primer niño queda con 1 regalo y el segundo con 2. Todos los casos posibles se podría representar así:

|* * * 

* |* *

* * |*

 * * *|

Que nos da un total de 4 formas diferentes de hacer esa repartición final. (Obviamente estamos diferenciando cada niño, esto se da implícito en el enunciado).

Pues bien, para el caso general con n regalos y k niños, tenemos que cualquiera que sea el arreglo de puntos y barras, se van a tener exactamente n puntos y k-1 barras (ya que son las suficientes para que existan k compartimentos).

Si le asignamos a cada barra y a acada punto un código para diferenciarlos, entonces  cada representación gráfica se multiplicaría varias veces, en total (k-1)!n! veces, ya que hay k-1 barras y n puntos. Y además, el total de resultados posibles sería mucho mayor: (n+k-1)!. 

Si queremos contar solo las representaciones gráficas distintas, sin diferenciarlas por los códigos, entonces tendríamos que hacer el cociente (n+k-1)!/[(k-1)!n!].

El punto al que quiero llegar con esto, es que la formulación y resolución de problemas de combinatoria, requieren de una precisión en el lenguaje que no se suele dar. Más aún, el centro de la discusión de dichos problemas debería situarse en estas diferencias, que son más abstractas que la solución que posteriormente se despliega.

Una propuesta didáctica que pretenda abordar estos temas, debe tener en cuenta las precisiones del lenguaje necesarias para que no existan tales ambigüedades.